Erick Erickson - Wikipedia

Trong vật lý, hóa học và các lĩnh vực liên quan, phương trình chính được sử dụng để mô tả sự tiến hóa thời gian của một hệ thống có thể được mô hình hóa như là sự kết hợp xác suất của các trạng thái tại bất kỳ thời điểm nào và chuyển đổi giữa các trạng thái được xác định bởi ma trận tỷ lệ chuyển đổi. Các phương trình là một tập hợp các phương trình vi phân theo thời gian của xác suất mà hệ thống chiếm giữ từng trạng thái khác nhau.

Giới thiệu [ chỉnh sửa ]

Phương trình chính là một tập hợp hiện tượng của phương trình vi phân bậc nhất mô tả sự tiến hóa theo thời gian của (thường) xác suất của một hệ thống chiếm giữ từng một tập hợp các trạng thái riêng biệt liên quan đến biến thời gian liên tục t . Dạng quen thuộc nhất của phương trình chính là dạng ma trận:

${ displaystyle { frac { d { vec {P}}} {dt}} = mathbf {A} { vec {P}},}$

trong đó ${ displaystyle { vec {P}}}$ là một vectơ cột ( trong đó phần tử i đại diện cho trạng thái i ) và ${ displaystyle mathbf {A}}$ là ma trận kết nối. Cách kết nối giữa các quốc gia được thực hiện xác định kích thước của vấn đề; nó cũng thế

• một hệ thống chiều (trong đó d là 1,2,3, ...), trong đó bất kỳ trạng thái nào được kết nối với chính xác hàng xóm 2d gần nhất của nó, hoặc
• một mạng, trong đó mọi cặp trạng thái có thể có một kết nối (tùy thuộc vào đặc tính của mạng).

Khi các kết nối là hằng số tốc độ độc lập với thời gian, phương trình chính biểu thị sơ đồ động học và quá trình là Markovian (bất kỳ hàm mật độ xác suất thời gian nhảy nào cho trạng thái i là một số mũ, với tỷ lệ bằng với giá trị của kết nối). Khi các kết nối phụ thuộc vào thời gian thực tế (ví dụ: ma trận ${ displaystyle mathbf {A}}$ phụ thuộc vào thời gian, ${ displaystyle mathbf {A} rightarrow mathbf {A} (t)}$ ), quá trình này không dừng và phương trình chính đọc

${\displaystyle \frac{d\stackrel{\to \; <!--\; \to \; -->}{P}}{dt}=\mathbf{A}(t)\stackrel{].}{P}}$

Khi các kết nối đại diện cho hàm số mật độ xác suất thời gian nhảy quá trình này là bán Markovian và phương trình của chuyển động là một phương trình vi phân tích phân được gọi là phương trình tổng thể:

Ma trận ${ displaystyle mathbf {A}}$ cũng có thể đại diện cho sinh và tử, nghĩa là xác suất đó được tiêm (sinh) hoặc lấy từ (cái chết) hệ thống, khi đó, quá trình không ở trạng thái cân bằng.

Mô tả chi tiết về ma trận ${\displaystyle \mathbf{A}}$ và các thuộc tính của hệ thống [ chỉnh sửa ]

Đặt ${ displaystyle mathbf {A}}$ là ma trận mô tả tốc độ chuyển đổi (còn được gọi là tốc độ động học hoặc tốc độ phản ứng ). Như mọi khi, chỉ mục đầu tiên đại diện cho hàng, đăng ký thứ hai cột. Đó là, nguồn được đưa ra bởi chỉ mục thứ hai và đích đến của chỉ mục đầu tiên. Điều này trái ngược với những gì người ta có thể mong đợi, nhưng nó thuận tiện về mặt kỹ thuật.

Đối với mỗi tiểu bang k việc tăng xác suất nghề nghiệp phụ thuộc vào sự đóng góp từ tất cả các tiểu bang khác vào k và được đưa ra bởi:

${\displaystyle \underset{\mathrm{\ell \; <!--\; \ell \; -->}}{\sum \; <!--\; \sum \; -->}{A}_{k\mathrm{\ell \; <!--\; \ell \; -->}}{P}_{\mathrm{\ell \; <!--\; \ell \; -->}}}$

trong đó ${ displaystyle P _ { ell}} [19659116] { displaystyle P _ { ell}} "/>$ là xác suất để hệ thống ở trạng thái ${ displaystyle ell}$trong khi ma trận ${\displaystyle \mathbf{A}}$ được lấp đầy bằng một lưới các hằng số tốc độ chuyển đổi . Tương tự như vậy, ${ displaystyle P_ {k}}$ góp phần vào sự chiếm đóng của tất cả các quốc gia khác ${\displaystyle P_{\mathrm{\ell \; <!--\; \ell \; -->}}]\; \{\; displaystyle\; P\; \_\; \{\; ell\},\}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{\ell \; <!--\; \ell \; -->}}{\sum \; <!--\; \sum \; -->}{A}_{\ell }{P}_k}$

Trong lý thuyết xác suất, điều này xác định quá trình tiến hóa là một quá trình Markov liên tục, với phương trình tổng thể tích hợp tuân theo phương trình Chapman Kolmogorov.

Phương trình chính có thể được đơn giản hóa để các thuật ngữ với = k không xuất hiện trong tổng kết. Điều này cho phép tính toán ngay cả khi đường chéo chính của ${ displaystyle mathbf {A}}$ không được xác định hoặc đã được gán một giá trị tùy ý.

${ displaystyle { frac {dP_ {k}} {dt}} = sum _ ell} (A_ {k ell} P _ { ell}) = sum _ { ell neq k} (A_ {k ell} P _ { ell}) + A_ {kk} P_ {k} = sum _ { ell neq k} (A_ {k ell} P _ { ell} -A _ { ell k} P_ {k}).}$

Sự bình đẳng cuối cùng phát sinh từ thực tế là

${ displaystyle P _ { ell}}$